二分查找法图解_二分查找图解VB

二分查找法图解_二分查找图解VB二分查找文章目录二分查找1.简介2.例子3.第一种写法(左闭右闭)3.1正向写法(正确演示)3.2反向写法(错误演示)4.第二种写法(左闭右开)4.1正向写法(正确演示)4.2反向写法(错误演示)5.总结写在前面:(一)二分法的思想十分容易理解,但是二分法边界处理问题大多数人都是记忆模板,忘记模板后处理边界就一团乱(????:“我懂了”,✋:"你懂个????"​)因为我此前也是记忆模板,所以现在想通过一边学习,一边将所学记录成博客教出去(费曼学习法),希望以后能自己推导出边界如

在这里插入图片描述

二分查找

写在前面:

(一)二分法的思想十分容易理解,但是二分法边界处理问题大多数人都是记忆模板,忘记模板后处理边界就一团乱(👁:“我懂了”, ✋ :"你懂个🔨"​)因为我此前也是记忆模板,所以现在想通过一边学习,一边将所学记录成博客教出去(费曼学习法),希望以后能自己推导出边界如何处理,而不仅仅是记忆模板。欢迎一起交流学习,如有看法不一样之处也欢迎留言一起讨论!

(二)我主要解释了二分法的左闭右闭区间,左闭右开区间两种写法,并且每个写法都举了相应的反例,范围写错的话可能会出现的错误等…

1. 简介

故事分享🏬:

有一天小明到图书馆借了 N 本书,出图书馆的时候,警报响了,于是保安把小明拦下,要检查一下哪本书没有登记出借。小明正准备把每一本书在报警器下过一下,以找出引发警报的书,但是保安露出不屑的眼神:你连二分查找都不会吗?于是保安把书分成两堆,让第一堆过一下报警器,报警器响;于是再把这堆书分成两堆…… 最终,检测了 logN 次之后,保安成功的找到了那本引起警报的书,露出了得意和嘲讽的笑容。于是小明背着剩下的书走了。 从此,图书馆丢了 N - 1 本书。

保安怎么知道只有一本书📖没有登记出借,万一全部都没有登记呢​?

这个故事其实说出了二分查找需要的条件

  • 用于查找的内容逻辑上来说是需要有序的
  • 查找的数量只能是一个,而不是多个

比如在一个有序的数组并且无重复元素的数组中,例如[1, 2, 3, 4, 5, 6],需要查找3的位置就可以使用二分查找。

在二分查找中,目标元素的查找区间的定义十分重要,不同的区间的定义写法不一样

因为查找的区间是不断迭代的,所以确定查找的范围十分重要,主要就是左右区间的开和闭的问题,开闭不一样,对应的迭代方式也不一样,有以下两种方式:

  • 左闭右闭[left, right]

  • 左闭右开[left, right)

2. 例子

这是一个使用二分查找的例题

题目如下:

给定一个 n 个元素有序的(升序)整型数组 nums 和一个目标值 target ,写一个函数搜索 nums 中的 target,如果目标值存在返回下标,否则返回 -1。

示例一:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例二:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

提示:

  • 你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
  • n 将在 [1, 10000]之间。
  • nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

出自704. 二分查找 - 力扣(LeetCode) (leetcode-cn.com)

二分法的思想很简单,因为整个数组是有序的,数组默认是递增的。

  • 首先选择数组中间的数字和需要查找的目标值比较
  • 如果相等最好,就可以直接返回答案了
  • 如果不相等
    • 如果中间的数字大于目标值,则中间数字向右所有数字都大于目标值,全部排除
    • 如果中间的数字小于目标值,则中间数字向左所有数字都小于目标值,全部排除

二分法就是按照这种方式进行快速排除查找的

tips:

不用去纠结数组的长度是奇数或者偶数的时候,怎么取长度的一半,以下说明,可以跳过。

当数组的长度为奇数的时候

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是奇数的情况很简单,指向中间的数字很容易理解,如果需要查找的数字为29

因为29大于中间的数字大于11,所以左边的所有数字全部排除
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当数组的长度为偶数的时候

二分查找法图解_二分查找图解VB

这个时候中间的数字两边的数字数量就不一样了(刚开始学习二分法的时候我经常纠结这个问题,和另外一个长度除2得到的是最中间的数吗的问题,我相信不止我一个人纠结过……但其实这是同一个问题,每次长度除2,如果长度为奇数,得到的中间的数字两边数字数量相同,如果长度为偶数就为上图中间的数字两边的相差为 1)

但是千万不要一直纠结中间的数字两边的数字数量不一样这个问题,因为:

  • 两边数量不一样是一定会出现的情况
  • 但是这种情况并不影响我们对中间数字和目标数字大小关系的判断
    • 只要中间数字大于目标数字,就排除右边的
    • 只要中间数字小于目标数字,就排除左边的

所以数组长度是偶数还是奇数这个真的不重要,不影响怎么排除的问题,无非是多排除一个数字或者少排除一个数字

  • 真正影响的是中间那个数字到底该不该加入下一次的查找中,也就是边界问题

3. 第一种写法(左闭右闭)

二分法最重要的两个点:

  • while循环中 left 和 right 的关系,到底是 left <= right 还是 left < right
  • 迭代过程中 middle 和 right 的关系,到底是 right = middle - 1 还是 right = middle

3.1 正向写法(正确演示)

第一种写法:每次查找的区间在[left, right](左闭右闭区间),根据查找区间的定义(左闭右闭区间),就决定了后续的代码应该怎么写才能对。因为定义 target 在[left, right]区间,所以有如下两点:

  • 循环条件要使用while(left <= right),因为当(left == right)这种情况发生的时候,得到的结果是有意义的
  • if(nums[middle] > target) , right 要赋值为 middle - 1, 因为当前的 nums[middle] 一定不是 target ,需要把这个 middle 位置上面的数字丢弃,那么接下来需要查找范围就是[left, middle - 1]

代码如下:

int search(int nums[], int size, int target) //nums是数组,size是数组的大小,target是需要查找的值
{ 
   
    int left = 0;
    int right = size - 1;	// 定义了target在左闭右闭的区间内,[left, right]
    while (left <= right) { 
   	//当left == right时,区间[left, right]仍然有效
        int middle = left + ((right - left) / 2);//等同于 (left + right) / 2,防止溢出
        if (nums[middle] > target) { 
   
            right = middle - 1;	//target在左区间,所以[left, middle - 1]
        } else if (nums[middle] < target) { 
   
            left = middle + 1;	//target在右区间,所以[middle + 1, right]
        } else { 
   	//既不在左边,也不在右边,那就是找到答案了
            return middle;
        }
    }
    //没有找到目标值
    return -1;
}
只听到从架构师办公室传来架构君的声音:
晓寒料峭尚欺人,春态苗条先到柳。有谁来对上联或下联?

下面图解算法的实现过程,建议将代码复制到一个文本编辑器中,边看代码边看图。或者我直接准备了图片,保存下来打开看就好了。
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首先看一个数组,需要对这个数组进行操作。需要对33进行查找的操作,那么target 的值就是33
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  • 首先,对 left 的值和 right 的值进行初始化,然后计算 middle 的值
    • left = 0, right = size - 1
    • middle = (left + (right - left) / 2 )

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  • 比较 nums[middle] 的值和 target 的值大小关系

    • if (nums[middle] > target),代表middle向右所有的数字大于target
    • if (nums[middle] < target),代表middle向左所有的数字小于target
    • 既不大于也不小于就是找到了相等的值
  • nums[middle] = 13 < target = 33,left = middle + 1

  • 见下图:

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  • 循环条件为 while (left <= right)

  • 此时,left = 6 <= right = 11,则继续进行循环

  • 当前,middle = left + ((right - left) / 2),计算出 middle 的值
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  • 计算出 middle 的值后,比较 nums[middle] 和 target 的值,发现:

    • nums[middle] = 33 == target = 33,找到目标

3.2 反向写法(错误演示)

对应第一种正向的写法,我们把循环条件修改看看会发生什么事

  • 原查找区间 [left, right]
  • 原循环条件是 while (left <= right)

修改后题目对应的条件:

  • 查找区间不变,仍然是[left, right]
  • 查找数字为27 (target = 27)
  • 循环条件修改为while (left < right)

代码:

此代码由Java架构师必看网-架构君整理
int search(int nums[], int size, int target) { int left = 0; int right = size - 1; while (left < right) { //left <= right 修改为 left < right,其他不变 int middle = left + ((right - left) / 2); if (nums[middle] > target) { right = middle - 1; } else if (nums[middle] < target) { left = middle + 1; } else { return middle; } } //没有找到目标值 return -1; }

代码图片,边看模拟过程边看代码哦!
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好了,现在开始用图片模拟过程

  • 初始化一个数组,计算 middle 的值

二分查找法图解_二分查找图解VB

  • 根据计算的 middle 值确定 nums[middle]

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  • 因为nums[middle] = 13 < target = 27,所以left = middle + 1

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  • 继续计算 middle 的值

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  • 因为 nums[middle] = 33 > target = 27,所以 right = middle - 1

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  • 接着计算 middle 的值

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  • 因为 nums[middle] = 22 < target = 27,此时 left = middle + 1,此时 left = right,而循环条件为while (left < right),所以还未找到27 的情况下算法就跳出了循环,返回 -1

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4. 第二种写法(左闭右开)

4.1 正向写法(正确演示)

第二种写法:每次查找的区间在 [left, right),(左闭右开区间), 根据区间的定义,条件控制应该如下:

  • 循环条件使用while (left < right)
  • if (nums[middle] > target), right = middle,因为当前的 nums[middle] 是大于 target 的,不符合条件,不能取到 middle,并且区间的定义是 [left, right),刚好区间上的定义就取不到 right, 所以 right 赋值为 middle。

代码如下:

int search(int nums[], int size, int target)
{ 
   
	int left = 0;
	int right = size; //定义target在左闭右开的区间里,即[left, right)
	while (left < right) { 
   	//因为left = right的时候,在[left, right)区间上无意义
		int middle = left + ((right - left) / 2);
		if (nums[middle] > target) { 
   
			right = middle; //target 在左区间,在[left, middle)中 
		} else if (nums[middle] < target) { 
   
			left = middle + 1;
		} else { 
   
			return middle;
		}
	} 
    // 没找到就返回-1
	return -1;
}

代码图片:保存下来边看代码边看图片演示过程

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  • 需要查找的值为3

第一步是初始化 left 和 right 的值,然后计算 middle 的值

  • left = 0, right = size
  • 循环条件while (left < right)

因为是左闭右开区间,所以数组定义如下:
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  • 计算 middle 的值,

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  • 比较 nums[middle] 和 target 的大小:因为 nums[middle] = 22 > target = 3
  • 所以 right = middle

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  • 符合循环的条件,接着计算 middle 的值

二分查找法图解_二分查找图解VB

  • 比较 nums[middle] 和 target 的大小:因为 nums[middle] = 9 > target = 3
  • 所以 right = middle

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  • 符合循环的条件,继续计算 middle 的值

二分查找法图解_二分查找图解VB

  • 比较 nums[middle] 和 target 的大小关系:因为nums[middle] = 0 < target = 3
  • 所以 left = middle + 1

在这里插入图片描述

  • 符合循环条件,接着计算 middle 的值

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  • 比较 nums[middle] 和 target 的关系:nums[middle] = 3 == target = 3
  • 成功找到 target

4.2 反向写法(错误演示)

对应第二种正确的写法,照样把循环条件修改,看会发生什么事

正确的写法中条件为:

  • 查找原区间 [left, right)
  • 循环条件为 while (left < right)

修改后题目对应的条件:

  • 查找区间不变,仍然是 [left, right)

  • 循环条件修改为:while (left <= right)

  • 查找的数字为26(数组中不存在这个数字!!!

代码:

此代码由Java架构师必看网-架构君整理
int search(int nums[], int size, int target) { int left = 0; int right = size; while (left <= right) { //条件left < right 修改为 left <= right int middle = left + ((right - left) / 2); if (nums[middle] > target) { right = middle; } else if (nums[middle] < target) { left = middle + 1; } else { return middle; } } // 没找到就返回-1 return -1; }

代码图片:(记得边看边保存图片代码边看图片演示哦!)
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以下是演示全过程:

  • 同样,开始初始化一个数组

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  • 先计算 middle 的值

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  • 判断 nums[middle] 和 target 的大小关系:nums[middle] = 22 < target = 26
  • left = middle + 1 (其实这里nums[left] 已经等于27,26不可能找到,接下去就看算法是否能够知道数组中不存在26并且返回-1 了)

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  • 符合循环条件,计算 middle 的值

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  • 判断 nums[middle] 和 target 的大小关系:nums[middle] = 57 > target = 26
  • right = middle

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  • 满足循环条件,接着计算 middle 的值

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  • 比较 nums[middle] 和 target 的大小关系:nums[middle] = 33 > target = 26
  • right = middle

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  • 符合循环条件,继续计算 middle 的值

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  • 比较 nums[middle] 和 target 大小关系,因为 nums[middle] = 27 > target = 26,
  • 所以 right = middle,自此,left 和 right 相遇,但是循环条件被我们修改成 while (left <= right) 会接着做循环

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  • 接下来就是死循环

  • 因为 middle = left + ((right - left) / 2),当 left = right 的时候,middle 的值不会继续改变

  • middle 不继续改变,由于right = middle,right 也不会改变,所以三个数字自此开始不会继续改变

  • 循环条件 while (left <= right) 却仍然满足,不会跳出循环

  • 死循环……

5. 总结

二分法最重要的两个点,就是循环条件和后续的区间赋值问题

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因为两者是相互联系,相互影响的,所以就需要两者统一,如果两者不统一,就会出现问题

所以循环条件和赋值问题必须统一,也就是循环不变量。

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  • 算法学习自微信公众号:“代码随想录”
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❤️完结撒花❤️

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