地理加权回归简易总结[通俗易懂]

地理加权回归简易总结[通俗易懂]地理加权回归空间统计有别于经典统计学的两大特征:空间相关性和空间异质性,莫兰指数等可以用来量化空间相关性,那么地理加权回归,就可以用来量化空间异质性。1.地理加权回归的出现:1)因为地理位置的变化,而引起的变量间关系或结构的变化称之为空间非平稳性(spatialnonstationarity)。——虾神在空间上出现的非平稳性,通常被认为由以下三个方面的原因引起的:随机抽样的误差引起...

地理加权回归

空间统计有别于经典统计学的两大特征:空间相关性和空间异质性,莫兰指数等可以用来量化空间相关性,那么地理加权回归,就可以用来量化空间异质性。

1.地理加权回归的出现:
1)因为地理位置的变化,而引起的变量间关系或结构的变化称之为空间非平稳性(spatial nonstationarity)。——虾神

在空间上出现的非平稳性,通常被认为由以下三个方面的原因引起的:

  • 随机抽样的误差引起的。抽样误差是无法避免的,也是无法观察的,所以统计学上一般只假定它服从某一分布,没必要去死纠这种变化,因为对分析本身的关系作用不大。
  • 是由于各地区不同的自然环境、人文环境等差异所引起的变量间的关系随着地理位置的变化而变化。这种变化反应是数据本身的空间特性,所以在空间分析中是需要着重注意的地方。
  • 用于分析的模型与实际不符,或者忽略了模型中应有的一些回归变量而导致的空间非平稳性。
2)为了解决空间非平稳性问题,以前的研究提出了三种方案:
  • 第一就是所谓的局部回归分析。(比如说按照行政区划)
  • 第二就是移动窗口回归。(可以解决边界跳崖式变化)
  • 第三就是变参数回归(也就是地理加权回归的前身)

2.地理加权回归:
1)地理加权回归的定义

地理加权和其他回归分析一样,首先要划定一个研究区域,当然,通常这个区域也可以包含整个研究数据的全体区域(以此扩展,你可以利用空间关系(比如k-临近),进行局部地理加权计算)……接下去最重要的就是利用每个要素的不同空间位置,去计算衰减函数,这个是一个连续的函数,有了这个衰减函数,当你把每个要素的空间位置(一般是坐标信息(x,y))和要素的值带入到这个函数里面之后,就可以得到一个权重值,这个值就可以带入到回归方程里面去。

2)空间权重矩阵的确定

地理加权回归里最重要的就是空间权重矩阵。

  • 空间关系概念化
    空间权重矩阵用是空间关系概念化计算出来的:空间关系观念一共有七个:
    在这里插入图片描述
    无论是临近方法,还是触点方法,都会导致局部回归的结果,也就是计算的区间不一样,会导致样本数量的变化,而全部加进来运算,又变成全局回归了,所以在GWR中,能且能够选择的,只有距离方法了。

  • GWR中最常用的权函数
    就是选择一个连续单调的递减函数来表示权重w和距离d之间关系,以此来克服反距离的缺点。

    • Gauss函数法

      在这里插入图片描述

在这里插入图片描述其中所谓的带宽b,指的就是权重与距离之间函数关系的非负衰减参数,就像上面那个图所示,带宽越大,权重随距离的增加衰减的越慢,带宽越小,权重随距离的增加衰减的就快。

  • 近高斯函数
    但是,如果数据非常离散,带来的结果就是有大量的数据躲得远远的,这种所谓的“长尾效应”会带来大量的计算开销,所以在实际运算中,应用的是近高斯函数来替代高斯计算,把那些没有影响(或者影响很少)的点给截掉,以提高效率。

在这里插入图片描述在这里插入图片描述
bi-square函数其实是距离阈值法和Gauss函数发法的结合。回归点在带宽的范围内,通过高斯联系单调递减函数计算数据点的权重,超出的部分,权重全部记为0。

地理加权回归对权函数的选择不是很敏感,但是对于带宽的变化却非常敏感。带宽过大会导致回归参数的偏差过大,带宽过小又会导致回归参数的方差过大。


3.带宽的确定
  • CV(交叉验证)
    在这里插入图片描述
    其中,
    在这里插入图片描述
    表示在回归参数估计的时候,不包括回归点本身,只根据回归点周边的数据进行回归参数计算,然后把不同的带宽和不同的CV绘制成趋势线,那么就可以找出CV值最小的时候,对应的最佳带宽是多少了。

  • AIC(最小信息准则)
    在这里插入图片描述

当我们有一堆可供选择的模型参数的时候,选择AIC最小的那个就行……因为AIC的大小取决于独立参数的个数和模型的极大似然函数两个值,参数值少,AIC小,且极大似然函数大,AIC也小,参数少表示模型简洁,极大似然函数大表示模型精确。因此AIC和修正的决定系数类似,在评价模型是兼顾了简洁性和精确性。当两个模型之间存在较大差异的时候,这个差异肯定首先出现在模型的极大似然函数上;而这个函数没有出现显著的差异的时候,模型的独立参数个数才气作用了,从而,参数个数越少的模型,表现得越好。也就是这个原因,这个准则才被称为:最小信息准则。


4.回归结果解读
  • Bandwidth 或 Neighbors:是指用于各个局部估计的带宽或相邻点数目,并且可能是“地理加权回归”的最重要参数。它控制模型中的平滑程度。通常,您将通过程序选择所需的带宽值或相邻点值,方法是为带宽方法参数选择修正的 Akaike 信息准则 (AICc) 或交叉验证 (CV)。这两个选项都将尝试识别最佳固定距离或最佳自适应相邻点数目。由于“最佳”条件对于 AICc 和 CV 并不相同,因此通常会获得不同的最佳值。
  • ResidualSquares:指模型中的残差平方和(残差为观测所得 y 值与 GWR 模型所返回的 y 值估计值之间的差值)。此测量值越小,GWR 模型越拟合观测数据。此值还在其他多个诊断测量值中使用。(非常重要
  • EffectiveNumber(有效数量):此值反映了拟合值的方差与系数估计值的偏差之间的折衷,与带宽的选择有关。带宽接近无穷大时,每个观测值的地理权重都将接近 1,系数估计值与全局 OLS 模型的相应值将非常接近。对于较大的带宽,系数的有效数量将接近实际数量;局部系数估计值将具有较小的方差,但偏差将非常大。相反,带宽接近零时,每个观测值的地理权重都将接近零(回归点本身除外)。对于非常小的带宽,系数的有效数量为观测值的数量,局部系数估计值将具有较大方差但偏差较低。该有效数量用于计算多个诊断测量值。
  • Sigma:此值为正规化剩余平方和(剩余平方和除以残差的有效自由度)的平方根。它是残差的估计标准差。此统计值越小越好。Sigma 用于 AICc 计算。
  • AICc:这是模型性能的一种度量,有助于比较不同的回归模型。考虑到模型复杂性,具有较低 AICc 值的模型将更好地拟合观测数据。AICc 不是拟合度的绝对度量,但对于比较适用于同一因变量且具有不同解释变量的模型非常有用。如果两个模型的 AICc 值相差大于 3,具有较低 AICc 值的模型将被视为更佳的模型。将 GWR AICc 值与 OLS AICc 值进行比较是评估从全局模型 (OLS) 移动到局部回归模型 (GWR) 的优势的一种方法。
  • R2:R 平方是拟合度的一种度量。其值在 0.0 到 1.0 范围内变化,值越大越好。此值可解释为回归模型所涵盖的因变量方差的比例。R2 计算的分母为因变量值平方和。向模型中再添加一个解释变量不会更改分母但会更改分子;这将出现改善模型拟合的情况(但可能为假象)。
  • R2Adjusted:由于上述 R2 值问题,校正的 R 平方值的计算将按分子和分母的自由度对它们进行正规化。这具有对模型中变量数进行补偿的效果,因此校正的 R2 值通常小于 R2 值。但是,执行此校正时,无法将该值的解释作为所解释方差的比例。在 GWR 中,自由度的有效值是带宽的函数,因此与像 OLS 之类的全局模型相比,校正程度可能非常明显。因此,AICc 是对模型进行比较的首选方式。

参考文献:
1.《白话空间统计:地理加权回归系列》——大虾卢
2.《ArcGIS Desktop 帮助文档》

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