向量积的拉格朗日公式_拉格朗日恒等式推导

向量积的拉格朗日公式_拉格朗日恒等式推导一.混合积定义:向量a与b的外积仍是一个向量,因而它还可以与

一. 混合积

向量积的拉格朗日公式_拉格朗日恒等式推导

        定义:向量
a
b的外积仍是一个向量,因而它还可以与另一个向量
c做内积:(
a×
b)
·
c = |a×b||c|cosθ = |a×b|h。它成为a, b,c的混合积,记作(a, b, c) = (a×b)·c。如上图所示。
        几何意义:因|a×b|等于以a,b为邻边的平行四边形面积,故|(a, b, c)|等于以a, b, c为邻边的平行六面体的体积。
        性质
  1. (a, b, c) = (b,c, a) = (c, a,b) = -(b, a, c) = -(c,b, a) = -(a, c,b);
  2. a1 + μa2, b, c) = λ(a1,b, c) + μ(a2, b,c),对任意实数λ, μ成立;
  3. 若{
    e1, e2, e3}是互相正交的组成右手系的单位向量,则(e1,e2, e3) = 1;
  4. a, b, c共面的充要条件是:(a,b, c) = 0
  • 应用混合积求解不同坐标系间的坐标转换问
        设
a,
b,
c为三个不共面的向量。求任意向量
d关于
a,
b,
c的分解式
d = x
a + y
b +z
c
解:根据向量加法的性质,
d可以表示成上式。两边与
b,
c取混合积,得
(
d,
b,
c) = (x
a+y
b+z
c,
b,
c)
              =((x
a+y
b+z
c
b)
·c
              =(xa×b+yb×b+zc×b)·c
              =(xa×b+zc×b)·c               (根据外积的性质,b×b = 0
              =(xa×b)·c + (zc×b)·c
              =x(a, b, c)                          (根据外积性质,c×bc正交,据内积性质,(c×b)·c = 0

因为(a, b, c)不共面,所以(a,b, c) ≠ 0,于是解得 x = (d, b, c)/(a, b, c),同理可得 y = (a, d, c)/(a,b, c),z = (a, b,d)/(a, b, c)。这其实就是解线性代数方程组的克莱姆法则

二. 双重外积公式与拉格朗日恒等式

双重外积公式:(
a×
b
c =
b(
a
·c) -
a(
b
·c).
拉格朗日恒等式:(
a×
b)
·(c×d) = (a·c)(b·d) - (a·d)(b·c).
证拉格朗日恒等式:
(
a×
b)
·(c×d) = (c,d, a×b)    (根据混合积定义:(a,b, c) = (a×b)·c

                      = (a×b,c, d)     (根据混合积性质: (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b))
                      = ((a×bc)·d
                      = (b(a·c) -a(b·c))·d
                      = (a·c)(b·d) - (a·d)(b·c).

三.参考

[1] 苏步青. 空间解析几何. 上海:上海科技出版社,1984
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