施密特正交化的几何解释[通俗易懂]

施密特正交化的几何解释[通俗易懂]线性代数中最头疼的公式恐怕就是施密特正交化了。但其实搞清楚它的几何原理之后公式的记忆就简单多了,数学重在理解!给定一组基α1,α2,...,αn\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n,将其变换成另外一组正交基β1,β2,...,βn\beta_1,\beta_2,...,\beta_n,使这两组基等价施密特正交化方法:β1=α1\beta_1=\alpha_1β2=

线性代数中最头疼的公式恐怕就是施密特正交化了。但其实搞清楚它的几何原理之后公式的记忆就简单多了,数学重在理解!

给定一组基 α1,α2,...,αn ,将其变换成另外一组正交基 β1,β2,...,βn ,使这两组基等价
施密特正交化方法:
β1=α1
β2=α2(α2,β1)(β1,β1)β1

βn=αn(αn,β1)(β1,β1)β1(αn,β2)(β2,β2)β2...(αn,βn1)(βn1,βn1)βn1

首先清除一个公式,两个向量 α,β ,那么 α β 上的投影向量为 (α,β)(β,β)β
如图红色部分即为投影部分
这里写图片描述

则蓝色部分向量为 α2(α2,β1)(β1,β1)β
对应两个向量的施密特法则
β1=α1
β2=α2(α2,β1)(β1,β1)β1
可见蓝色向量为 β2 β1 是垂直的

而当向量个数为3时,对应三维空间的几何解释如图
这里写图片描述
其中绿色的为需要正交的原始基 αi α1 是红色的因为 α1 同时也是 β1
将二维得到的 β2 平移到坐标原点出后则 α3 在xoy平面的投影即是 α3(α3,β1)(β1,β1)β1(α3,β2)(β2,β2)β2 ,即 α3 β1 β2 上的投影组成的平行四边形的斜边,则得到的 β3 就是 α3 与该投影的向量差,即红色部分的 β3 ,显然可以看出来 β1,β2,β3 是正交的。

同样可以推广到三维以上的欧氏空间 Rm ,即施密特正交公式。

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