图的五种最短路径算法

图的五种最短路径算法本文总结了图的几种最短路径算法的实现:深度或广度优先搜索算法,费罗伊德算法,迪杰斯特拉算法,Bellman-Ford算法。1)深度或广度优先搜索算法(解决单源最短路径)从起点开始访问所有深度遍历路径或广度优先路径,则到达终点节点的路径有多条,取其中路径权值最短的一条则为最短路径。下面是核心代码:voiddfs(intcur,intdst){if(minpath<dst)r...

本文总结了图的几种最短路径算法的实现:深度或广度优先搜索算法,费罗伊德算法,迪杰斯特拉算法,Bellman-Ford 算法。

1)深度或广度优先搜索算法(解决单源最短路径)

从起点开始访问所有深度遍历路径或广度优先路径,则到达终点节点的路径有多条,取其中路径权值最短的一条则为最短路径。

下面是核心代码:

void dfs(int cur,int dst){
    if(minpath<dst) return;//当前走过的路径大雨之前的最短路径,没有必要再走下去了
    if(cur==en){//临界条件,当走到终点n
       if(minpath>dst){
        minpath=dst;
        return;
       }
    }
     for(int i=1;i<=n;i++){
        if(mark[i]==0&&edge[cur][i]!=inf&&edge[cur][i]!=0){
            mark[i]=1;
            dfs(i,dst+edge[cur][i]);
            mark[i]=0;//需要在深度遍历返回时将访问标志置0
        }
     }
     return;
}
只听到从架构师办公室传来架构君的声音:
谁谓伤心画不成,画人心逐世人情。有谁来对上联或下联?

例:先输入n个节点,m条边,之后输入有向图的m条边,边的前两个元素表示起点和终点,第三个值表示权值,输出1号城市到n号城市的最短距离。

此代码由Java架构师必看网-架构君整理
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define nmax 110 #define inf 999999999 int minpath,n,m,en,edge[nmax][nmax],mark[nmax];//最短路径,节点数,边数,终点,邻接矩阵,节点访问标记 void dfs(int cur,int dst){ if(minpath<dst) return;//当前走过的路径大雨之前的最短路径,没有必要再走下去了 if(cur==en){//临界条件,当走到终点n if(minpath>dst){ minpath=dst; return; } } for(int i=1;i<=n;i++){ if(mark[i]==0&&edge[cur][i]!=inf&&edge[cur][i]!=0){ mark[i]=1; dfs(i,dst+edge[cur][i]); mark[i]=0;//需要在深度遍历返回时将访问标志置0 } } return; } int main () { while(cin>>n>>m&&n!=0){ //初始化邻接矩阵 for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=n;j++){ edge[i][j]=inf; } edge[i][i]=0; } int a,b; while(m--){ cin>>a>>b; cin>>edge[a][b]; } minpath=inf; memset(mark,0,sizeof(mark)); mark[1]=1; en=n; dfs(1,0); cout<<minpath<<endl; } }

程序运行结果如下:

图的五种最短路径算法

2)弗洛伊德算法(解决多源最短路径):时间复杂度o(n^3),空间复杂度o(n^2)

基本思想:最开始只允许经过1号顶点进行中转,接下来只允许经过1号和2号顶点进行中转.......允许经过1~n号所有顶点进行中转,来不断动态更新任意两点之间的最短距离。即求从i号顶点到j顶点只经过前k号点的最短距离。

分析如下:1,首先构建邻接矩阵edge[n+1][n+1],假如现在只允许经过1号节点,求任意两点间的最短距离,很显然edge[i][j]=min(edge[i][j],edge[i][1]+edge[1][j]),代码如下:

for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(edge[i][j]>edge[i][1]+edge[1][j]){
               edge[i][j]=edge[i][1]+edge[1][j];
            }
        }
     }

2.接下来继续求在只允许经过1和2号两个顶点的情况下任意两点之间的最短距离,在已经实现了从i号顶点到j号顶点只经过前1号点的最短路程的前提下,现在插入第2号节点,来看看能不能更新最短路径,因此只需在步骤一求得的基础上,进行edge[i][j]=min(edge[i][j],edge[i][2]+edge[2][j]);.......

3.很显然,需要n次这样的更新,表示依次插入了1号2号.......n号节点,最后求得的edge[i][j]是从i号顶点到j号顶点只经过前n号点的最短路程。因此核心代码如下:

此代码由Java架构师必看网-架构君整理
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define inf 999999999 int main () { for(int k=1;k<=n;k++){ for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=n;j++){ if(edge[k][j]<inf&&edge[i][k]<inf&&edge[i][j]>edge[i][k]+edge[k][j]){ edge[i][j]=edge[i][k]+edge[k][j]; } } } } }

例1:寻找最短的从商场到赛场的路线。其中商店在1号节点处,赛场在n号节点处,1~n节点中有m条线路双向连接。

/***先输入n,m,在输入m个三元组,n为路口数,m表示有几条路,其中1为商店,n为赛场,三元组分别表示起点终点,和该路径长,输出1到n的最短距离***/

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 999999999
#define nmax 110
int n,m,edge[nmax][nmax];
int main ()
{
    int a,b;
    while(cin>>n>>m&&n!=0){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                edge[i][j]=inf;
            }
            edge[i][i]=0;
        }
        while(m--){
           cin>>a>>b;
           cin>>edge[a][b];
           edge[b][a]=edge[a][b];
        }
        for(int k=1;k<=n;k++){
     for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(edge[k][j]<inf&&edge[i][k]<inf&&edge[i][j]>edge[i][k]+edge[k][j]){
               edge[i][j]=edge[i][k]+edge[k][j];
            }
        }
     }
     }
     cout<<edge[1][n]<<endl;
    }
}

程序运行结果如下:

图的五种最短路径算法

3)迪杰斯特拉算法(解决单源最短路径)

基本思想:每次找到离源点(如1号节点)最近的一个顶点,然后以该顶点为中心进行扩展,最终得到源点到其余所有点的最短路径。

基本步骤:1,设置标记数组book[]:将所有的顶点分为两部分,已知最短路径的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q,很显然最开始集合P只有源点一个顶点。book[i]为1表示在集合P中;

2,设置最短路径数组dst[]并不断更新:初始状态下,dst[i]=edge[s][i](s为源点,edge为邻接矩阵),很显然此时dst[s]=0,book[s]=1.此时,在集合Q中可选择一个离源点s最近的顶点u加入到P中。并依据以u为新的中心点,对每一条边进行松弛操作(松弛是指由顶点s-->j的途中可以经过点u,并令dst[j]=min(dst[j],dst[u]+edge[u][j])),并令book[u]=1;

3,在集合Q中再次选择一个离源点s最近的顶点v加入到P中。并依据v为新的中心点,对每一条边进行松弛操作(即dst[j]=min(dst[j],dst[v]+edge[v][j])),并令book[v]=1;

4,重复3,直至集合Q为空。

核心代码如下:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define nmax 110
#define inf 999999999
/***构建所有点最短路径数组dst[],且1为源点***/
int u;/***离源点最近的点***/
int minx;
for(int i=1;i<=n;i++) dst[i]=edge[1][i];
for(int i=1;i<=n;i++) book[i]=0;
book[1]=1;
for(int i=1;i<=n-1;i++){
        minx=inf;
    for(int j=1;j<=n;j++){
        if(book[j]==0&&dst[j]<minx){
            minx=dst[j];
            u=j;
        }
    }
    book[u]=1;
    /***更新最短路径数组***/
    for(int k=1;k<=n;k++){
        if(book[k]==0&&dst[k]>dst[u]+edge[u][k]&&edge[u][k]<inf){
            dst[k]=dst[u]+edge[u][k];
        }
    }
}

例1:给你n个点,m条无向边,每条边都有长度d和花费p,给你起点s,终点t,要求输出起点到终点的最短距离及其花费,如果最短距离是有多条路线,则输出花费最少的。

输入:输入n,m,点的编号是1~n,然后是m行,每行4个数a,b,d,p,表示a和b之间有一条边,且长度为d,花费为p。最后一行是两个数s,t,起点s,终点t。n和m为0时输入结束。(1<n<=1000,0<m<100000,s!=t)

输出:输出一行,有两个数,最短距离及其花费。

分析:由于每条边有长度d和花费p,最好构建变结构体存放。

使用邻接矩阵求解:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define nmax 110
#define inf 999999999
struct Edge{
    int len;
    int cost;
}edge[nmax][nmax];
int u,n,m,book[nmax],s,t,dst[nmax],spend[nmax];
int minx;
int main (){
    while(cin>>n>>m&&n!=0&&m!=0){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                edge[i][j].len=inf;
                edge[i][j].cost=0;
            }
            edge[i][i].len=0;
        }
        int a,b;
        while(m--){
            cin>>a>>b;
            cin>>edge[a][b].len>>edge[a][b].cost;
            edge[b][a].len=edge[a][b].len;
            edge[b][a].cost=edge[a][b].cost;
        }
        cin>>s>>t;
       for(int i=1;i<=n;i++) {dst[i]=edge[s][i].len;spend[i]=edge[s][i].cost;}
       for(int i=1;i<=n;i++) book[i]=0;
       book[s]=1;
for(int i=1;i<=n-1;i++){
        minx=inf;
   for(int j=1;j<=n;j++){
        if(book[j]==0&&dst[j]<minx){
            minx=dst[j];
            u=j;
        }
    }
    book[u]=1;
    for(int k=1;k<=n;k++){
        if(book[k]==0&&(dst[k]>dst[u]+edge[u][k].len||(dst[k]==dst[u]+edge[u][k].len&&spend[k]>spend[u]+edge[u][k].cost))&&edge[u][k].len<inf){
            dst[k]=dst[u]+edge[u][k].len;
            spend[k]=spend[u]+edge[u][k].cost;
        }
    }
}
       cout<<dst[t]<<' '<<spend[t]<<endl;
    }
 }

程序运行结果如下:

图的五种最短路径算法

4)Bellman-Ford算法(解决负权边,解决单源最短路径,前几种方法不能解决负权边)

主要思想:所有的边进行n-1轮松弛,因为在一个含有n个顶点的图中,任意两点之间的最短路径最多包含n-1条边。换句话说,第1轮在对所有的边进行松弛操作后,得到从1号顶点只能经过一条边到达其余各定点的最短路径长度,第2轮在对所有的边进行松弛操作后,得到从1号顶点只能经过两条边到达其余各定点的最短路径长度,........

此外,Bellman-Ford算法可以检测一个图是否含有负权回路:如果经过n-1轮松弛后任然存在dst[e[i]]>dst[s[i]]+w[i].

例1:对图中含有负权的有向图,输出从1号节点到各节点的最短距离,并判断有无负权回路。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define nmax 1001
#define inf 999999999
int n,m,s[nmax],e[nmax],w[nmax],dst[nmax];
int main ()
{
       while(cin>>n>>m&&n!=0&&m!=0){
        for(int i=1;i<=m;i++){
            cin>>s[i]>>e[i]>>w[i];
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            dst[i]=inf;
        dst[1]=0;
        for(int i=1;i<=n-1;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                if(dst[e[j]]>dst[s[j]]+w[j]){
                   dst[e[j]]=dst[s[j]]+w[j];
                }
            }
        }
        int flag=0;
        for(int i=1;i<=m;i++){
           if(dst[e[i]]>dst[s[i]]+w[i]){
                flag=1;
        }
       }
       if(flag) cout<<"此图有负权回路"<<endl;
       else{
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(i==1) cout<<dst[i];
            else cout<<' '<<dst[i];
        }
        cout<<endl;
       }
}
}

程序运行结果如下:

图的五种最短路径算法

5)SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)算法是求单源最短路径的一种算法,它是Bellman-ford队列优化,它是一种十分高效的最短路算法。

实现方法:建立一个队列,初始时队列里只有起始点s,在建立一个数组记录起始点s到所有点的最短路径(初始值都要赋为极大值,该点到他本身的路径赋为0)。然后执行松弛操作,用队列里的点去刷新起始点s到所有点的距离的距离,如果刷新成功且刷新的点不在队列中,则把该点加入到队列,重复执行直到队列为空。

此外,SPFA算法可以判断图中是否有负权欢=环,即一个点的入队次数超过N。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,len;
struct egde{
     int to,val,next;
}e[200100];
int head[200100],vis[200100],dis[200100];
void add(int from,int to,int val){
     e[len].to=to;
     e[len].val=val;
     e[len].next=head[from];
     head[from]=len;
     len++;
}
void spfa()
{
    queue<int>q;
    q.push(1);
    vis[1]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int t=q.front();
        q.pop();
        vis[t]=0;
        for(int i=head[t];i!=-1;i=e[i].next){
            int s=e[i].to;
            if(dis[s]>dis[t]+e[i].val){
                dis[s]=dis[t]+e[i].val;
                if(vis[s]==0){
                    q.push(s);
                    vis[s]=1;
                }
            }
        }
    }

}
int main(){
    int from,to,val;
    while(cin>>n>>m){
        memset(head,-1,sizeof(head));
        memset(vis,0,sizeof(vis));
       /* for(int i=1;i<=n;i++){
            dis[i]=99999999;
        }*/
        memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
        dis[1]=0;len=1;
        for(int i=0;i<m;i++){
            cin>>from>>to>>val;
            add(from,to,val);
        }
        spfa();
        for(int i=1;i<=n;i++){
            cout<<dis[i]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
}

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