有限覆盖定理证明其他实数完备性定理

有限覆盖定理证明其他实数完备性定理1、有限覆盖定理证明确界原理证明:设SSS为非空有上界的数集,我们证明SSS有上确界不妨设SSS没有最大值,设bbb为SSS的一个上界,下面用反证法来证明supS=ξsupS=\xisupS=ξ存在假设supSsupSsupS不存在,取a∈Sa\inSa∈S对任一x∈[a,b]{x}\in[a,b]x∈[a,b],依下述方法确定一个相应的邻域Ux=(x−δ,x+δ)U_{x}=(x-\delta,x+\delta)Ux​=(x−δ,x+δ)1)1)1)若x∈Sx\inSx∈S,因SSS中没

1、有限覆盖定理证明确界原理

证明:

S S S为非空有上界的数集,我们证明 S S S有上确界

不妨设 S S S没有最大值,设 b b b S S S的一个上界,下面用反证法来证明 s u p S = ξ supS=\xi supS=ξ存在

假设 s u p S supS supS不存在,取 a ∈ S a\in S aS对任一 x ∈ [ a , b ] {x}\in [a,b] x[a,b],依下述方法确定一个相应的邻域

U x = ( x − δ , x + δ ) U_{x}=(x-\delta,x+\delta) Ux=(xδ,x+δ)

1 ) 1) 1) x ∈ S x\in S xS,因 S S S中没有最大值,所以至少存在一点 x ′ ∈ S x'\in S xS,使 x ′ < x x'< x x<x,这时取 δ = x ′ − x \delta=x^{\prime}-x δ=xx

2 ) 2) 2) x ∉ S {x}\notin S x/S x {x} x不是 S S S的上界,同样存在 x ′ ∈ S {x}^{\prime}\in{S} xS,使 x < x ′ {x}< {x}^{\prime} x<x,这时取 δ = x − x ′ \delta={x}-{x}^{\prime} δ=xx

3 ) 3) 3) x ∈ S {x}\in{S} xS,且 x {x} x S S S的上界,因 s u p S supS supS存在,故有 δ > 0 \delta> 0 δ>0,使得 U x = ( x − δ , x + δ ) {U}_{
{x}}=({x}-\delta,{x}+\delta)
Ux=(xδ,x+δ)
中的点都是 S S S的上界.

于是我们得到了 [ a , b ] [a,b] [a,b]的一个开覆盖:

H = { U x = ( x − δ , x + δ ) ∣ x ∈ [ a , b ] } {H}=\left\{
{U}_{
{x}}=({x}-\delta,{x}+\delta)\mid{x}\in[{a},{b}]\right\}
H={
Ux=(xδ,x+δ)x[a,b]}

根据有限覆盖定理 H H H有有限子覆盖:

H ~ = { U n k = ( x k − δ x k , x k + δ x k ) ∣ k = 1 , 2 , ⋯   , n } \widetilde{
{H}}=\left\{
{U}_{nk}=\left({x}_{k}-\delta_{x_k},{x}_{k}+\delta_{x_k}\right)\mid{k}=1,2,\cdots,n\right\}
H
=
{
Unk=(xkδxk,xk+δxk)k=1,2,,n}

U x U_x Ux分成两类,若 U x U_x Ux 3 ) 3) 3)中所确定的开区间,我们把 U x U_x Ux称为是第二类的,否则称为是第一类的,显然 a a a所属的邻域 U x i U_{xi} Uxi是第一类的, b b b所属的邻域 U x i U_{xi} Uxi是第二类的,所以至少有一个第一类邻域与某个第二类邻域相交,这是不可能的.

2、有限覆盖定理证明单调有界定理

单调有界定理即单调有界数列必有极限

证:

不妨设数列 { x n } \{x_n\} {
xn}
单调递增有上界 M M M,且若 { x n } \{x_n\} {
xn}
中有最大值,则易知 { x n } \{x_n\} {
xn}
收敛于某常数,从而定理得证,一下假设 { x n } \{x_n\} {
xn}
中没有最大值,我们用反证法来证明

( 1 ) (1) (1) { x n } \{x_n\} {
xn}
没有极限。对任意取定自然数 n 0 n_0 n0 x n 0 < M x_{n_0}< M xn0<M,下面作闭区间 [ x n 0 , M ] \left[x_{n_{0}},{M}\right] [xn0,M]的对应开覆盖 H H H.设 x ∈ [ x n 0 , M ] x\in\left[x_{n_{0}},{M}\right] x[xn0,M]

1 ) 1) 1) x = x n ′ x=x_n' x=xn( n ′ n' n是自然数)。因为 { x n } \{x_n\} {
xn}
中没有最大值,说以至少存在某个自然数 n ′ ′ n'' n,使得 x n ′ ≤ x n ′ ′ x_{n^{\prime}}\leq x_{n^{\prime\prime}} xnxn,这时取 δ = x n ′ − x n ′ ′ \delta=x_{n^{\prime}}-x_{n^{\prime\prime}} δ=xnxn x x x的领域 ( x − δ , x + δ ) (x-\delta,x+\delta) (xδ,x+δ)

2 ) 2) 2) x ∉ x n ′ x\notin x_n' x/xn且不是 { x n } \{x_n\} {
xn}
的上界,同样存在 x n ′ ∈ { x n } x_n'\in\{x_n\} xn{
xn}
,使 x n ′ ≤ x n ′ ′ x_{n^{\prime}}\leq x_{n^{\prime\prime}} xnxn,取 δ = x n ′ − x n ′ ′ \delta=x_{n^{\prime}}-x_{n^{\prime\prime}} δ=xnxn x x x的领域 ( x − δ , x + δ ) (x-\delta,x+\delta) (xδ,x+δ)

3 ) 3) 3) x = x n ′ ∈ { x n } x= x_{n'}\in\{x_n\} x=xn{
xn}
且是 { x n } \{x_n\} {
xn}
的上界。因为 lim ⁡ n → ∞ x n \lim_{n\rightarrow\infty}x_{n} limnxn不存在,故必存在 x x x的邻域
( x − δ , x + δ ) (x-\delta,x+\delta) (xδ,x+δ),使得它不含有 { x n } \{x_n\} {
xn}
中的任何项,于是我们得到了闭区间 [ x n 0 , M ] \left[x_{n_{0}},{M}\right] [xn0,M]的一个开覆盖

( 2 ) (2) (2)有限覆盖定理,选出有限个开区间:

( x 1 − δ 1 , x 1 + δ 1 ) , ⋯   , ( x n − δ n , x n + δ n ) \left(x_{1}-\delta_{1},x_{1}+\delta_{1}\right),\cdots,\left(x_n-\delta_n,x_n+\delta_n\right) (x1δ1,x1+δ1),,(xnδn,xn+δn)

也能覆盖闭区间 [ x n 0 , M ] \left[x_{n_{0}},{M}\right] [xn0,M]

( 3 ) (3) (3)将这有限个开区间分成两类:若 ( x i − δ i , x i + δ i ) (x_{i}-\delta_{i},x_{i}+\delta_{i}) (xiδi,xi+δi)是第 3 ) 3) 3)中情形,则称之为第 1 1 1类;否则称为第 2 2 2

显然 x n 0 x_{n_0} xn0所属的邻域是第 1 1 1类, M M M所属的邻域是第 2 2 2类,但因

( x 1 − δ 1 , x 1 + δ 1 ) , ⋯   , ( x n − δ n , x n + δ n ) \left(x_{1}-\delta_{1},x_{1}+\delta_{1}\right),\cdots,\left(x_n-\delta_n,x_n+\delta_n\right) (x1δ1,x1+δ1),,(xnδn,xn+δn)

覆盖了 [ x n 0 , M ] \left[x_{n_0},{M}\right] [xn0,M],所以至少有一个第 1 1 1类开区间与某个第 2 2 2类开区间相交,这是不可能的,矛盾。

3、有限覆盖定理证明区间套定理

区间套定理:即若 { [ a n , b n ] } n = 1 ∞ \{[a_n,b_n]\}_{n=1}^{\infty} {
[an,bn]}n=1
是一闭区间套,则存在唯一 ξ \xi ξ属于所有的闭区间 [ a n , b n ] [a_n,b_n] [an,bn], n = 1 , 2 , ⋯ n=1,2,\cdots n=1,2,

证:用反证法证明

( 1 ) (1) (1)假设 [ a n , b n ] [a_n,b_n] [an,bn], n = 1 , 2 , ⋯ n=1,2,\cdots n=1,2,,没有公共点,则 [ a 1 , b 1 ] [a_1,b_1] [a1,b1]上的任何一点都不是 { [ a n , b n ] } \{[a_n,b_n]\} {
[an,bn]}
的公共点,从而,总存在一个开区间 ( x − δ x , x + δ x ) \left(x-\delta_{x},x+\delta_{x}\right) (xδx,x+δx),使得 ( x − δ x , x + δ x ) \left(x-\delta_x,x+\delta_{x}\right) (xδx,x+δx)不与所有的 [ a n , b n ] \left[a_n,b_n\right] [an,bn]相交即,存在 [ a n x b n x ] \left[\begin{array}{lll}a_{n_x}b_{n_x}\end{array}\right] [anxbnx],使 [ a n x , b n x ] ∩ ( x − δ x , x + δ x ) = ϕ \left[\begin{array}{lll}a_{n_x}\end{array},b_{n_x}\right]\cap\left(x-\delta_x,x+\delta_x\right)=\phi [anx,bnx](xδx,x+δx)=ϕ

现让 x x x取遍 [ a 1 , b 1 ] [a_1,b_1] [a1,b1]上的所有点,就得到一个开区间集:

H = { ( x − δ x , x + δ x ) : x 取遍 [ a 1 , b 1 ] 上的所有点 } {H}=\{(x-\delta_x,x+\delta_x):x\text{取遍}[{a}_1,{b}_{1}]\text{上的所有点}\} H={
(x
δx,x+δx):x取遍[a1,b1]上的所有点}

( 2 ) (2) (2)有限覆盖定理,选出有限个开区间:

H ~ = { ( x k − δ x , x k + δ x k ) : k = 1 , 2 , ⋯ m } \widetilde{
{H}}=\left\{\left(x_k-\delta x,x_k+\delta x_k\right):k=1,2,\cdots{m}\right\}
H
=
{
(xkδx,xk+δxk):k=1,2,m}

覆盖闭区间 [ a , b ] [{a},{b}] [a,b],其中

( x k − δ x k , x k + δ x k ) ∩ [ a n x k , b n x k ] = ϕ \left(x_k-\delta_{x_k},x_k+\delta_{x_k}\right)\cap[{a}_{n_{x_k}},{b}_{n_{x_k}}]=\phi (xkδxk,xk+δxk)[anxk,bnxk]=ϕ

( 3 ) (3) (3)因为 [ a n x k , b n x k ] [a_{n_{x_k}},b_{n_{x_k}}] [anxk,bnxk]只有有限个,由闭区间套定理的条件,它们是一个包含着一个,因此其中一定有一个最小区间,设为 [ a n 0 , b n 0 ] [a_{n_0},b_{n_0}] [an0,bn0],这时,

[ a n , , b n , ] ∩ ( x k − δ x k , x k + δ x k ) = ϕ , k = 1 , 2 , ⋯ m \left[a_{n},,b_{n},\right]\cap\left(x_{k}-\delta_{x_k},x_{k}+\delta_{x_k}\right)=\phi,k=1,2,\cdots m [an,,bn,](xkδxk,xk+δxk)=ϕ,k=1,2,m

从而,

[ a n 0 , b n ] ∩ U k = 1 n ( x k − δ x k , x k + δ x k ) = ϕ [a_{n_0},b_{n}]\cap U_{k=1}^{n}\left(x_{k}-\delta_{x_k},x_{k}+\delta_{x_k}\right)=\phi [an0,bn]Uk=1n(xkδxk,xk+δxk)=ϕ

这就与 [ a n 0 , b n 0 ] ⊂ [ a 1 , b 1 ] [a_{n_0},b_{n_0}]\subset[a_1,b_1] [an0,bn0][a1,b1]矛盾

所以, [ a n , b n ] [a_n,b_n] [an,bn], n = 1 , 2 , ⋯ n=1,2,\cdots n=1,2,,应有公共点

4、有限覆盖定理证明聚点定理

证:

E E E为有界无穷点集,因此存在 M > 0 M> 0 M>0,使得 E ⊂ [ − M , + M ] E\subset[-M,+M] E[M,+M].由本节习题6知, [ − M , + M ] [-M,+M] [M,+M]的聚点均含于 [ − M , + M ] [-M,+M] [M,+M],故 E E E若有聚点,必含于 [ − M , + M ] [-M,+M] [M,+M]

反证法:

E E E无聚点,即 [ − M , + M ] [-M,+M] [M,+M]中任何一点都不是 E E E的聚点,则对于 ∀ x ∈ [ − M , + M ] \forall x\in[-M,+M] x[M,+M],必有相应的 δ x > 0 \delta_{x}> 0 δx>0,使得 U ( x ; δ x ) U\left(x;\delta_{x}\right) U(x;δx)内至多只有点 x ∈ E ( 若 x ∉ E , 则 U ( x ; δ x ) 中 不 含 E 中 之 点 ) x\in E(若x\notin E,{则}U\left(x;\delta_{x}){中不含}E{中之点}\right) xE(x/E,U(x;δx)E).所有这些邻域的全体形成 [ − M , + M ] [-M,+M] [M,+M]的一个无限开覆盖:

H = { ( x − δ x , x + δ x ) ∣ x ∈ [ − M , + M ] } H=\left\{\left(x-{\delta}_{x},x+{\delta}_{x}\right)\mid x\in[-M,+M]\right\} H={
(xδx,x+δx)x[M,+M]}

有限覆盖定理知, H H H中存在有限个开区间能覆盖 [ − M , + M ] [-M,+M] [M,+M].记

H ˉ = { ( x − δ x k , x + δ x k ) ∣ x k ∈ [ − M , + M ] , k = 1 , 2 , ⋯   , N } ⊂ H \bar{H}=\left\{\left(x-\delta_{x_{k}},x+\delta_{x_{k}}\right)\mid x_{k}\in[-M,+M],k=1,2,\cdots,N\right\}\subset H Hˉ={
(xδxk,x+δxk)xk[M,+M],k=1,2,,N}
H

[ − M , + M ] [-M,+M] [M,+M]的一个有限开覆盖,则 H ˉ \bar{H} Hˉ也覆盖了 E E E.由 U ( x ; δ x ) U\left(x;\delta_{x}\right) U(x;δx)的构造含意知, H ˉ \bar{H} Hˉ N N N个邻域至多有 N N N个点属于 E E E,这与 E E E为无穷点集相矛盾.因此,在 [ − M , + M ] [-M,+M] [M,+M]内一定有 E E E的聚点.

由此聚点定理得证。

习题6证明:闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]的全体聚点的集合 [ a , b ] [a,b] [a,b]本身。

( 1 ) (1) (1) x ∈ [ a , b ] {x}\in[{a},{b}] x[a,b],若 x ∈ ( a , b ) {
{x}}\in({a},{b})
x(a,b)
,取 δ = min ⁡ { ∣ x − a ∣ , ∣ x − b ∣ } \delta=\min\{|{x}-{a}|,|{x}-{b}|\} δ=min{
x
a,xb}
,则 δ > 0 \delta> 0 δ>0,且 U ( x , δ ) ⊂ [ a , b ] {U}({x},\delta)\subset[{a},{b}] U(x,δ)[a,b],从而对任给正数 ε ( < δ ) \varepsilon(< \delta) ε(<δ),有 U ( x , ε ) ⊂ [ a , b ] {U}({x},\varepsilon)\subset[{a},b] U(x,ε)[a,b],而 U ( x , ε ) U(x,\varepsilon) U(x,ε)中含有 [ a , b ] [a,b] [a,b]的无限多个点,故 x x x [ a , b ] [a,b] [a,b]的聚点.

x = a x={a} x=a,则对任给正数 ε ( < b − a ) \varepsilon(< {b}-{a}) ε(<ba),有 U + ( a , ε ) ⊂ U ( a , ε ) {U}_{+}({a},\varepsilon)\subset{U}({a},\varepsilon) U+(a,ε)U(a,ε),且 U + ( a , e ) ⊂ [ a , b ] {U}_{+}({a},{e})\subset[{a},b] U+(a,e)[a,b],即 U ( a , ε ) U(a,\varepsilon) U(a,ε)内含有 [ a , b ] [a,b] [a,b]的无限多个点,故 a a a [ a , b ] [a,b] [a,b]的聚点。

x = b x=b x=b同理可证.

( 2 ) (2) (2) x {x} x [ a , b ] [{a},{b}] [a,b]聚点,假设 x ∉ [ a , b ] {x}\notin[{a},{b}] x/[a,b],则 x < a {x}< {a} x<a,或 x > b {x}> {b} x>b,

x < a {x}< {a} x<a,取 0 < ε < a − x 0< \varepsilon< {a}-{x} 0<ε<ax,则 U ( x , ε ) ∩ [ a , b ] = ∅ {U}({x}, \varepsilon)\cap[{a},{b}]=\emptyset U(x,ε)[a,b]=,即 U ( x , ε ) {U}({x},\varepsilon) U(x,ε)中不含 [ a , b ] [{a},{b}] [a,b]的点这与 x x x [ a , b ] [a,b] [a,b]的聚点相矛盾.所以 x ∈ [ a , b ] x\in[{a},{b}] x[a,b]

x > b {x}> {b} x>b同样可证.

5、有限覆盖定理证明Cauchy收敛准则→设柯西数列的套路

证(反证法)

假设柯西列 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}
不收敛,易证 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}
为有界无穷数列,取 ε = 1 \varepsilon=1 ε=1,因 { a n } \left\{
{a}_{
{n}}\right\}
{
an}
柯西数列,所以存在某个正整数 N 0 N_0 N0,当 n > N 0 n> N_0 n>N0时有 ∣ a n − a N 0 + 1 ∣ < 1 |a_{
{n}}-{a}_{
{N_0}+1}\mid< 1
anaN0+1<1
,亦即当 n > N 0 n> N_0 n>N0 ∣ a n ∣ ⩽ ∣ a N 0 + 1 ∣ + 1 \left|{a}_{
{n}}\right|\leqslant\left|{a}_{
{N_0}+1}\right|+1
anaN0+1+1
{ a n } \left\{
{a}_{
{n}}\right\}
{
an}
有界。

即,存在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]使得 { x n } ⊂ [ a , b ] \left\{x_{n}\right\}\subset[a,b] {
xn}
[a,b]
。则 ∀ x ∈ [ a , b ] , ∃ U ( x ) , \forall x\in[a,b],\exists U(x), x[a,b],U(x), δ \delta δ使得 U ( x , δ ) U(x,\delta) U(x,δ)中只含有 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}
中的有限多项(否则,若 ∀ δ > 0 \forall\delta> 0 δ>0, U ( x , δ ) U(x,\delta) U(x,δ)都有 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}
中的无限多项,则易证 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}
收敛,这与假设矛盾)。

从而得 [ a , b ] [a,b] [a,b]的一个开覆盖 H : = { U ( x , δ ) ∣ x ∈ [ a , b ] } {H}:=\{U(x,\delta)\mid x\in[a,b]\} H:={
U(x,δ)
x[a,b]}

H e i n e − B o r e l Heine-Borel HeineBorel有限覆盖定理知,存在 H H H的一个有限子覆盖

H 1 : = { U ( x i , δ i ) ∣ x i ∈ [ a , b ] , i = 1 , 2 , ⋯   , k } {H}_{1}:=\left\{U\left(x_{i},\delta_{i}\right)\mid x_{i}\in[a,b],i=1,2,\cdots,k\right\} H1:={
U(xi,δi)xi[a,b],i=1,2,,k}

所以 ∪ H 1 \cup H_1 H1,只含有 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}
中的有限多个点,这显然与 ( ∪ H 1 ) ⊃ [ a , b ] ⊃ { x n } \left(\cup H_{1}\right)\supset[a,b]\supset\left\{x_{n}\right\} (H1)[a,b]{
xn}
是矛盾的,
假设错误,因此 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}
必收敛。

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