高等代数中的韦达定理_一元n次方程韦达定理

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一元二次方程根与系数关系(韦达定理),多元方程解法,高次方程解法

一元二次方程根与系数的关系

现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用,而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系,在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用.本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述.

一)、一元二次方程的根的判断式

一元二次方程,用配方法将其变形为:

(1) 当时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实数根:

(2) 当时,右端是零.因此,方程有两个相等的实数根:

(3) 当时,右端是负数.因此,方程没有实数根.

由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此,把叫做一元二次方程的根的判别式,表示为:

【例1】不解方程,判断下列方程的实数根的个数:

(1) (2) (3)

说明:在求判断式时,务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式.

【例2】已知关于的一元二次方程,根据下列条件,分别求出的范围:

(1) 方程有两个不相等的实数根;(2) 方程有两个相等的实数根

(3)方程有实数根;(4) 方程无实数根.

【例3】已知实数、满足,试求、的值.

二)、一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的两个根为:

所以:,

定理:如果一元二次方程的两个根为,那么:

说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此定理称为”韦达定理”.

【例4】若是方程的两个根,试求下列各式的值:

(1) ;(2) ;(3) ;(4) .

分析:本题若直接用求根公式求出方程的两根,再代入求值,将会出现复杂的计算.这里,可以利用韦达定理来解答.

说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:

*【例5】一元二次方程有两个实根,一个比3大,一个比3小,求的取值范围。

*【例6】 已知一元二次方程一个根小于0,另一根大于2,求的取值范围。

【例7】已知关于的方程,根据下列条件,分别求出的值.

(1) 方程两实根的积为5;(2) 方程的两实根满足.

分析:(1) 由韦达定理即可求之;(2) 有两种可能,一是,二是,所以要分类讨论.

解:(1) ∵方程两实根的积为5

【例8】已知是一元二次方程的两个实数根.

(1) 是否存在实数,使成立?若存在,求出的值;若不存在,请您说明理由.

(2) 求使的值为整数的实数的整数值.

说明:(1) 存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在,否则即不存在.

练习:

1.一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是()

A.B.C.D.

2.若是方程的两个根,则的值为()

A.B.C.D.

3.已知菱形ABCD的边长为5,两条对角线交于O点,且OA、OB的长分别是关于的方程的根,则等于()

A.B.C.D.

4.若实数,且满足,则的值为

()

A.B.C.D.

5.若方程的两根之差为1,则的值是 _____ .

6.设是方程的两实根,是关于的方程的两实根,则= _____ ,= _____ .

7.对于二次三项式,小明得出如下结论:无论取什么实数,其值都不可能等于10,您是否同意他的看法?请您说明理由.

*8.一元二次方程两根、满足

求取值范围。

9.已知关于的一元二次方程.

(1) 求证:不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;

(2) 若方程的两根为,且满足,求的值.

10.已知关于的方程.

(1) 取何值时,方程存在两个正实数根?

(2) 若该方程的两根是一个矩形相邻两边的长,当矩形的对角线长是时,求的值.

11.已知关于的方程有两个不相等的实数根.

(1) 求的取值范围;

(2) 是否存在实数,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出的值;如果不存在,请您说明理由.

12.若是关于的方程的两个实数根,且都大于1.

(1) 求实数的取值范围;

(2) 若,求的值.

四、一元高次方程的解法

含有一个未知数,且未知数的最高次项的次数大于2的整式方程叫做一元高次方程。

一元高次方程的解法通常用试根法因式分解或换元法达到降次的目的,转换为

一元一次方程或一元二次方程,从而求出一元高次方程的解。

【例1】解方程 (1)x3+3x2-4x=0 (2)x4-13x2+36=0

练习:

解方程

(1)x3+5x2-6x=0

(2)(x2-3x)2-2(x2-3x)-8=0

五、三元一次方程组的解法举例

1).三元一次方程组的概念:

三一次方程组中含有三个未知数,每个方程的未知项的次数都是1,并且一共有三个方程。

注:(1

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