6.算法的复杂度

6.算法的复杂度
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目录

1.算法的时间复杂度
 1.1 度量一个程序(算法)执行时间的两种方法
 1.2 时间频度的概念
 1.3 时间复杂度
 1.4 常见的时间复杂度
 1.5 平均时间复杂度和最坏时间复杂度
2.算法的空间复杂度

1.算法的时间复杂度

1.1 度量一个程序(算法)执行时间的两种方法:

(1)事后统计的方法:这种方法可行, 但是有两个问题。一是要想对设计的算法的运行性能进行评测,需要实际运行该程序;二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素,这种方式,要在同一台计算机的相同状态下运行,才能比较那个算法速度更快。

(2)事前估算的方法:通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优。

1.2 时间频度的概念:

一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例,哪个算法中语句执行次数多,它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为 T(n)。

举例说明-基本案例

比如计算1-100所有数字之和, 我们设计两种算法:
在这里插入图片描述
采用for循环的时间频度为:T(n)=n+1; (循环100次后,会多执行一次判定才跳出循环,故为 n+1)
在这里插入图片描述
采用简便计算公式的时间频度为:T(n)=1

举例说明-忽略常数项

在这里插入图片描述
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结论:
(1) 2n+20 和 2n 随着n 变大,执行曲线无限接近, 20可以忽略
(2) 3n+10 和 3n 随着n 变大,执行曲线无限接近, 10可以忽略

举例说明-忽略低次项

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
结论:
(1) 2n^2+3n+10 和 2n^2 随着n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
(2) n^2+5n+20 和 n^2 随着n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20

举例说明-忽略系数

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
结论:
(1) 随着n值变大,5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ,执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5和3可以忽略。
(2) 而n^3+5n 和 6n^3+4n ,执行曲线分离,说明多少次方式关键。

1.3 时间复杂度

(1) 一般情况下,算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模 n 的某个函数,用 T(n)表示,若有某个辅助函数 f(n),使得当 n 趋近于无穷大时,T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数,则称 f(n)是 T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=O( f(n) ),称O( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。
(2) T(n) 不同,但时间复杂度可能相同。 如:T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的 T(n) 不同,但时间复杂度相同,都为 O(n²)。
(3)计算时间复杂度的方法:
a.用常数 1 代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=3n²+2n+2 => T(n)=3n²+2n+1
b.修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项 T(n)=3n²+2n+1 => T(n) = 3n²
c.去除最高阶项的系数 T(n) = 3n² => T(n) = n² => O(n²)

1.4 常见的时间复杂度

(1)常数阶 O(1)
(2)对数阶 O(log2n)
(3)线性阶 O(n)
(4)线性对数阶 O(nlog2n)
(5)平方阶 O(n^2)
(6)立方阶 O(n^3)
(7)k 次方阶 O(n^k)
(8)指数阶 O(2^n)
常见的时间复杂度对应的图:
在这里插入图片描述
说明:
常见的算法时间复杂度由小到大依次为:Ο(1)<Ο(log2n)<Ο(n)<Ο(nlog2n)<Ο(n2)<Ο(n3)< Ο(nk) <Ο(2n) ,随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低。从图中可见,我们应该尽可能避免使用指数阶的算法。

(1) 常数阶O(1)

无论代码执行了多少行,只要是没有循环等复杂结构,那这个代码的时间复杂度就都是O(1)。
在这里插入图片描述
上述代码在执行的时候,它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长,那么无论这类代码有多长,即使有几万几十万行,都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

(2) 对数阶O(log2n)

在这里插入图片描述
说明:在while循环里面,每次都将 i 乘以 2,乘完之后,i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后,i 就大于 2 了,此时这个循环就退出了,也就是说 2 的 x 次方等于 n,那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后,这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为:O(log2n) 。O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的,i = i * 3 ,则是 O(log3n) 。

(3) 线性阶O(n)

在这里插入图片描述
说明:这段代码,for循环里面的代码会执行n遍,因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的,因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度

(4) 线性对数阶O(nlogN)

在这里插入图片描述
说明:线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解,将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话,那么它的时间复杂度就是 n * O(logN),也就是了O(nlogN)

(5) 平方阶O(n²)

在这里插入图片描述
说明:平方阶O(n²) 就更容易理解了,如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍,它的时间复杂度就是 O(n²),这段代码其实就是嵌套了2层n循环,它的时间复杂度就是 O(nn),即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m,那它的时间复杂度就变成了 O(mn)。

(6) 立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)

说明:参考上面的O(n²) 去理解就好了,O(n³)相当于三层n循环,其它的类似。

1.5 平均时间复杂度和最坏时间复杂度

(1)平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下,该算法的运行时间。
(2)最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。 一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是:最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限,这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
(3)平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致,和算法有关,如图:
在这里插入图片描述

2.算法的空间复杂度

(1) 类似于时间复杂度的讨论,一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间,它也是问题规模 n 的函数。
(2) 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模 n 有关,它随着 n 的增大而增大,当 n 较大时,将占用较多的存储单元,例如快速排序和归并排序算法, 基数排序就属于这种情况
(3) 在做算法分析时,主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看,更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.

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